Resolución de un ejercicio del apartado "c" del TP

Resolución del apartado "a" y "b" para un ejercicio del TP

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EN CASO DE NO PODER DESCARGARLO, ESTE ES EL TRABAJO PRÁCTICO. SE LOS DEJO AQUÍ ASÍ PUEDAN VISUALIZARLO- SALUDOS

TRABAJO PRÁCTICO

Alumno:

Curso:

Colegio:

Espacio Curricular: Matemática

ACTIVIDADES

a) Representa gráficamente las funciones y en cada caso diga si es creciente o decreciente, justificando la respuesta:

f(x)= 3

f(x) = -x 

f(x) = -x+1

f(x)= 2x-3

f(x)= 3x+2

f(x)= 4x/5-2

f(x)= 2x/7-1

f(x)= -3x/2+1     

b) Indica pendiente y ordenada en cada una de las funciones anteriores.

c) Encuentra la formula de las funciones lineales cuyas gráficas se presentan a continuación

TRABAJO PRÁCTICO PARA PRESENTAR EL JUEVES

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PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN DE UNA FUNCIÓN LINEAL

En una función lineal  y = ax + b

-          La constante a recibe el nombre de “ pendiente” y nos indica la inclinación que tiene la recta, expresando una razón entre las variaciones de las coordenadas “y” y “x” de dos puntos de la recta ( a = ∆y / ∆x ); de modo que: 

Si a es Mayor que 0, la función lineal es creciente.

Si a es Menor que 0, la función lineal es decreciente

Si a es Igual 0, la función es constante. La Grafica de una función constante es una recta horizontal, es decir, paralela al eje x.

-          b recibe el nombre de “ordenada al origen”, y el punto (0, b)  es el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas.

DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal (y = ax+b) presenta:

Dom(f)= R                              Im(f)= R

FUNCIÓN LINEAL - DEFINICIÓN

“Una función lineal es aquella función polinómica de grado uno, definida  de la forma y = ax + b,  donde a y b son constantes reales y su gráfica representa una recta en el plano”.  El término ax se denomina término lineal y b simplemente término independiente.

OTROS EJEMPLOS DE FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Función discontinua en x=x0

Función continua

Función continua

Función discontinua en x=0

                                                                Note el punto vacío en (0,1)

NOCIONES DE CONTINUIDAD

      Se dice que una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. En otras palabras si no presenta puntos vacíos ni saltos en su gráfica.

      En caso de no ser continua, se dice que la función es discontinua.

función continua

                 función discontinua 

                                                               en  x =1

ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN (PARTE 2 Y 3)

ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN (PARTE 1)

PROCESO PARA DETERMINAR EL CONJUNTO DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD

      Para determinar los conjuntos de positividad y negatividad, se divide el dominio en intervalos que tengan por extremos a las raíces de la función y luego se analiza el signo en un valor prueba cualquiera dentro de cada intervalo para establecer el signo del mismo.

CONJUNTO DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD

Conjunto de positividad (C⁺): es aquel formado por  todos los valores del dominio cuyas imágenes resultan positiva. Gráficamente son los intervalos de x en los que el grafico esta por encima del eje x

Conjunto de negatividad (C^-):es aquel formado por  todos los valores del dominio cuyas imágenes resultan negativas. Gráficamente son los intervalos de x en los que el grafico esta por debajo del eje x.

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN PARTE 2

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN PARTE 1

ORDENADA AL ORIGEN

      La ordenada al origen nos indica donde corta la función al eje de las ordenadas, y está dado  por el valor b=f(0).

CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN

       Los ceros o raíces de una función  son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero. c € Dom es un cero o raíz de f↔ f(c) = 0

Se denomina conjunto de ceros de una función, al conjunto formado por todos los ceros de la misma. Si una función tiene n ceros: x₁, x₂,…x_n el conjunto de ceros será:                  

                                          C⁰ = { x₁, x₂,…x_n }

      Gráficamente, los ceros o raíces de una función son las abscisas de los puntos de contacto de la curva con el eje x. 

EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

Extremos de una función:

       Son aquellos puntos en los cuales la gráfica de una función cambia su crecimiento.

Si en Po, f cambia de Creciente a Decreciente se dice que Po es un máximo; mientras que si cambia de Decreciente a Creciente se dice que es un Mínimo.

Máximo absoluto: el punto P(a,f_(a)) es un máximo absoluto de la función y=f(x) si se verifica que f(a) resulta ser el valor más alto que pueda registrar f, o sea que para todo valor x del dominio de f se cumple que f(x) < f(a).

Mínimo absoluto: el punto P(a,f_(a)) es un mínimo absoluto de la función y=f(x) si se verifica que f(a) resulta ser el menor valor que pueda registrar f, o sea que para todo valor x del dominio de f se cumple que f(x) > f(a).

INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

      Se denomina intervalo de crecimiento al subconjunto del Dom de f, para el cual la función es creciente siempre, o sea si se cumple que para todo a y b del intervalo, si a<b entonces f(a)<f(b).

   Del mismo modo, se denomina intervalo de decrecimiento al subconjunto del Dom de f, para el cual la función es decreciente siempre. o sea si se cumple que para todo a y b del intervalo, si a<b entonces f(a)>f(b).

Se simbolizan: Ic: intervalo de crecimiento; Id: intervalo de decrecimiento. 

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

                      

Función inyectiva:

Una función f:A→B es inyectiva si distintos elementos de dominio tienen imagines distintas. Es decir. Si x₁≠x₂ →f(x₁)≠f(x₂), siendo x₁ y x₂ elementos del dominio.

Función sobreyectiva:

Una función f:A→B es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A. Es decir si Im_f = B (la imagen de la función  es igual a codominio).

Función biyectiva:

Una función f:A→B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

CLASIFICACION DE FUNCIONES REALES

NOTACION DE INTERVALOS PARA DOMINIO E IMAGEN

CONCEPTO

    Un intervalo real es un conjunto de valores reales comprendido entre otros dos llamados extremos, los cuales pueden o no estar incluidos en el intervalo y según sea el caso el intervalo puede denominarse cerrado, abierto, semi-abierto o semi-cerrado (según el extremo que se tome como referencia)

(a,b) intervalo abierto: comprende todos los valores reales mayores que “a” y menores que “b”, sin incluir a ninguno de los extremos.

[a,b] intervalo cerrado: comprende todos los valores reales mayores o iguales que “a” y menores o  iguales que “b”. En este caso el conjunto incluye a ambos extremos.

(a,b] intervalo semi-abierto por izquierda o semi-cerrado por derecha: comprende todos los valores reales mayores que “a” y menores o iguales que “b”.

[a,b) intervalo semi-cerrado por izquierda o semi-abierto por derecha: comprende todos los valores reales mayoreso iguales que “a” y menores que “b”.

NOTA: Cuando un intervalo se extiende infinitamente hasta la izquierda, se coloca en ese extremo el símbolo -∞, con paréntesis de ese lado ya que infinito no existe… y si se extiende hacia la derecha se coloca ∞. Ejemplo:  (-∞, 2) ;  (-∞, 4] ; (5, ∞)  ;  [3, ∞).  Cuando se quiere representar al conjunto de los reales (completo) puede indicarse infinito hacia ambos extremos: R = (-∞,∞). 

CONCEPTO DE FUNCIÓN, DOMINIO E IMAGEN , FUNCIÓN REAL

        FUNCION

      Una función es una relación que se establece entre elementos de un conjunto de partida y otro de llegada en la que a cada elemento de la partida le corresponde un único elemento de la llegada.

         

          Identificando a los elementos de uno y otro conjunto mediante variables diferenciadas (por ejemplo, si llamamos –en general- “x” a los elementos del primer conjunto e “y” a los elementos del segundo conjunto), podemos establecer una dependencia entre ellas, de modo que la segunda variable (“y”) depende siempre de la primera (“x”) y es posible definir el concepto de función como una relación entre dos variables (una independiente y la otra dependiente de la primera) en la cual a cada valor de la primera (independiente)  le corresponde un único valor de la segunda (dependiente).

      DOMINIO E IMAGEN

Dominio de una Función: se llama así al conjunto de los valores que pueda tomar la variable independiente de una función y se denota como D_f ó Domf_..

Imagen de una Función: se llama así al conjunto formado por todos los valores que resultan para la variable dependiente y se denota como Im_f.

     FUNCION REAL

     Una función real es aquella en la cual los conjuntos de partida y llegada se definen en el conjunto de los números reales y se denotan como f:R→R , que significa “función definida desde los reales hacia los reales”, con lo cual el dominio y la imagen de la función serán subconjuntos de los reales.

     La forma de expresar una función real es a través de expresiones matemáticas que indican la relación (o vínculo) entre las variables; por ejemplo, y = 3x  ,  y = x², y = sen x,  etc  

    La representación gráfica de una función real es el conjunto de todos los puntos P(x,y) del plano representado por un sistema de ejes xy (x: eje horizontal, y: eje horizontal), para los cuales (x,y) es un par ordenado de f.

    La gráfica resulta entonces una línea (curva) en el plano que surge de unir todos los puntos determinados por los pares ordenados (x,y) que participan en la función.